Quiz svolti Matematica
In questa pagina si riportano 10 esercizi svolti di Matematica (risolti quando possibile con metodi veloci) presenti nelle Banche Dati ufficiali relative ai concorsi per Accademia Aeronautica Militare.
Quiz n. 1 (Banca Dati - anno 2018)
Traccia: Ogni minuto in una vasca viene versata una quantità d'acqua pari al 20% della capacità totale della vasca. Se contemporaneamente ne fuoriesce una quantità pari al 80% di quella che viene immessa, dopo quanti minuti la vasca sarà piena? [risposte: a) 50; b) 15; c) 60; d) 10; e) 25]
Risoluzione: si supponga che la vasca abbia una capacità di 100 litri.
In 1 minuto viene versata una quantità d'acqua pari al 20% di 100 litri:
Contemporaneamente, però, in 1 minuto fuoriesce una quantità d'acqua pari all'80% di quella che viene immessa (20 litri):
Si deduce che ogni minuto la quantità d'acqua che permane nella vasca è data dalla differenza dei due valori appena calcolati:
Avendo ipotizzato per la vasca una capacità di 100 litri e, poichè ogni minuto la quantità d'acqua in essa presente aumenta di 4 litri, il tempo totale di riempimento è dato dal seguente rapporto:
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 2 (Banca Dati - anno 2018)
Traccia: "A" è l’insieme dei numeri interi che possono essere scritti come n3 + 1, dove n è un numero intero diverso da 0. Quale dei seguenti numeri interi è in "A"? [risposte: a) 27; b) 64; c) 26; d) 127; e) 65]
Risoluzione: un numero intero che appartiene all'insieme "A" deve essere pari al successivo ("+1") di un cubo perfetto ("n3").
Si può, quindi, procedere per esclusione: si sottrae una unità all'intero presente in ciascuna alternativa di risposta e si verifica se il numero ottenuto è un cubo perfetto.
- risposta b): 64 - 1 = 63 (non è un cubo perfetto)
- risposta c): 26 - 1 = 25 (non è un cubo perfetto)
- risposta d): 127 - 1 = 126 (non è un cubo perfetto)
- risposta e): 65 - 1 = 64 (è un cubo perfetto)
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 3 (Banca Dati - anno 2018)
Traccia: Togliendo 13 mele dalla quarta parte di un intero raccolto, ne restano 14. Quante mele sono state raccolte complessivamente? [risposte: a) 74; b) 92; c) 124; d) 108; e) 168]
Risoluzione: per risolvere il quiz, si imposta una semplice equazione di I grado.
Si "traduce" matematicamente la traccia del quiz: "togliendo 13 mele" (- 13) → "dalla quarta parte di un intero raccolto" (x/4) → "ne restano 14" (= 14).
Risolvendo l'equazione di I grado, si ottiene:
↓
x - 52 = 56
↓
x = 56 + 52
↓
x = 108
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 4 (Banca Dati - anno 2018)
Traccia: Su una mappa in scala 1 : 100.000, quanti chilometri sono rappresentati da 60 cm? [risposte: a) 600; b) 6; c) 6.000; d) 0,6; e) 60]
Risoluzione: è possibile risolvere il quesito moltiplicando la distanza misurata sulla mappa (60 cm) per il numero che indica la scala (100.000) "purificato" degli ultimi 5 zeri (1).
Si ottiene, in questo modo, la distanza tra le due località nella realtà, espressa in km:
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 5 (Banca Dati - anno 2018)
Traccia: Un capitale di euro 18.300 in un anno ha maturato un interesse di euro 512,40. Quale tasso è stato applicato? [risposte: a) 2,9%; b) 2,8%; c) 2,55%; d) 2,7%; e) 2,3%]
Risoluzione: la formula per determinare l'interesse maturato è la seguente:
dove "C" è il capitale investito; "i" è il tasso di interesse espresso in frazione decimale e "t" è l'intervallo di tempo espresso in anni.
Nel caso in esame si applica la formula inversa per determinare il tasso di interesse:
↓
i = 512,40 / (18.300•1)
↓
i = 0,028
↓
i = 2,8%
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 6 (Banca Dati - anno 2017)
Traccia: Un trapezio rettangolo è formato da un quadrato e da un triangolo rettangolo isoscele. Sapendo che la base minore misura 18 cm, quanto misura la sua area? [risposte: a) 400 cm^2; b) 324 cm^2; c) 486 cm^2; d) 972 cm^2; e) 200 cm^2]
Risoluzione: l'area di un trapezio si calcola mediante la seguente formula:
L'altezza del trapezio è uguale alla base minore, perchè entrambi lati di uno stesso quadrato:
Inoltre la base maggiore è il doppio della base minore; infatti la differenza tra base maggiore e base minore è uguale all'altezza h, in quanto entrambi cateti dello stesso triangolo rettangolo isoscele:
↓
B = 2 • 18
↓
B = 36 cm
Si può, quindi, calcolare l'area del trapezio:
↓
A = 486 cm^2
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 7 (Banca Dati - anno 2017)
Traccia: Dato un triangolo di vertici A(-2,1), B(-2,5) e C(1,1) determina l'ortocentro. [risposte: a) (-2,1); b) (-2,5); c) (-1,7/3); d) (1,1); e) (0,0)]
Risoluzione: rappresentando i 3 vertici nel piano cartesiano, si nota che il triangolo che si viene a formare è rettangolo in A.
Poichè l'ortocentro è l'intersezione delle 3 altezze di un triangolo, nel caso in esame esso coinciderà con il vertice A (-2,1).
Infatti in un triangolo rettangolo i 2 cateti corrispondono anche a 2 altezze del triangolo; in particolare nel triangolo dato ABC, AB è l'altezza relativa al cateto AC, mentre AC è l'altezza relativa al cateto AB.
Esse si intersecano ovviamente in A e, per tale punto, deve passare anche l'altezza relativa all'ipotenusa AC.
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 8 (Banca Dati - anno 2017)
Traccia: Un parallelepipedo rettangolo ha il perimetro di base e l'altezza che valgono rispettivamente 24 cm e 9 cm. Quanto vale il volume del parallelepipedo? [risposte: a) 186 cm^3; b) 216 cm^3; c) 72 cm^3; d) 144 cm^3; e) i dati sono insufficienti]
Risoluzione: il volume di un parallelepipedo è dato dal prodotto dell'area di base per l'altezza (dimensione nota).
Per calcolare l'area di base è necessario conoscere le altre 2 dimensioni del parallelepipedo, ossia larghezza e profondità.
Oltre all'altezza, l'unico dato fornito dalla traccia del quesito è il perimetro di base (2p); indicando con "a" la larghezza e con "b" la profondità del parallelepipedo, si può quindi scrivere:
↓
2a+2b = 24
Nella relazione appena ricavata vi sono 2 incognite e quindi il quesito non può essere risolto con i dati a disposizione.
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 9 (Banca Dati - anno 2017)
Traccia: Due persone che distano tra loro 300 metri partono contemporaneamente camminando l'una verso l'altra. Se la prima percorre 2 metri al secondo mentre l'altra 3 metri al secondo, quanta strada avrà percorso quest'ultima al momento che i due si incontrano?[risposte: a) 120 metri; b) 150 metri; c) 90 metri; d) 210 metri; e) 180 metri]
Risoluzione: le due persone, camminando contemporaneamente l'una verso l'altra, percorrono complessivamente, in 1 secondo, la distanza di:
Il tempo impiegato a raggiungere il punto d'incontro può essere calcolato dividendo la distanza iniziale tra le due persone (300 metri) per la quantità appena calcolata:
La seconda persona, camminando alla velocità di 3 metri/secondo, avrà quindi percorso:
↓
s = 3 • 60 = 180 metri
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 10 (Banca Dati - anno 2017)
Traccia: Tre fabbri costruiscono uno sgabello rispettivamente in quattro, cinque e dieci giorni. Quanto tempo impiegheranno a costruire 11 sgabelli insieme? [risposte: a) 20 giorni; b) 25 giorni; c) 30 giorni; d) 10 giorni; e) 12 giorni]
Risoluzione: si esegue dapprima la scomposizione in fattori primi dei numeri 4, 5 e 10:
5 = 5 • 1
10 = 2 • 5 • 1
Si calcola quindi il minimo comune multiplo dei numeri 4, 5 e 10, effettuando il prodotto dei fattori primi, comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente:
In 20 giorni il primo fabbro riesce a costruire 5 sgabelli (= 20/4), il secondo 4 sgabelli (= 20/5) e il terzo 2 sgabelli (= 20/10).
Si deduce che complessivamente i tre fabbri, in 20 giorni, costruiscono il seguente numero di sgabelli:
La risposta corretta è, quindi, la a).
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