Concorso Accademia Esercito - Algebra, Trigonometria e Geometria
Quiz svolti Algebra, Trigonometria e Geometria
In questa pagina si riportano 15 esercizi svolti di Algebra, Trigonometria e Geometria utili per la preprazione alla prova scritta di preselezione del concorso Accademia Esercito Italiano.
ALGEBRA
Quiz n. 1
Traccia:
L'insieme P(A) delle parti di A è formato da 16 elementi. Quanti sono gli elementi di A?
a) 5
b) 4
c) 16
d) 3
Risoluzione:
Dato un qualsiasi insieme A, l'insieme delle parti di P(A) è costituito da tutti i possibili sottoinsiemi che si possono formare in A.
Il numero di tali sottoinsiemi può essere calcolato tramite la formula 2n dove "n" è il numero di elementi dell'insieme A.
Nel caso in esame si ha:
⇓
2n = 24
⇓
n = 4
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 2
Traccia:
Un ciclista ha percorso 8 chilometri, pari al 40% del suo tragitto. Quanti chilometri misura il tragitto?
a) 32
b) 2
c) 19,2
d) 20
Risoluzione:
Quando la distanza percorsa corrisponde alla percentuale indicata dalla traccia del quesito, basta moltiplicare la distanza per 100 e dividere il risultato ottenuto per la percentuale data.
Nel caso in esame si ha:
Metodo alternativo: si imposta la proporzione 8 : 40/100 = x : 1, dove "1" indica l'intero tragitto, ovvero la percentuale del 100%.
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 3
Traccia:
Tre amici acquistano una cassetta di fragole. Il primo prende 1/2 dei cestini contenuti nella cassetta, il secondo i 2/5 di quanti ne ha presi il primo ed il terzo 6 cestini. Quanti cestini erano contenuti nella cassetta?
a) 42
b) 25
c) 31
d) 20
Risoluzione:
Si può impostare una semplice equazione di I grado.
Si "traduce" matematicamente la traccia del quesito: il primo prende 1/2 dei cestini [(1/2)•x]; il secondo prende i 2/5 di quelli presi dal primo [(2/5)•(1/2)•x]; il terzo prende 6 cestini [6].
La somma dei cestini presi dai 3 amici è uguale ovviamente al numero di cestini incogniti x.
Si deve, pertanto, risolvere la seguente equazione:
⇓
(1/2)•x + (1/5)•x + 6 = x
⇓
5x+2x+60 = 10x
⇓
3x = 60
⇓
x = 20
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 4
Traccia:
Il dominio della funzione f(x) = [ln(x+1)] / (x-2) è uguale a:
a) (1, +∞)
b) (-1, +∞)
c) (0, +∞)
d) (-1, 2) U (2, +∞)
Risoluzione:
Per calcolare il dominio o campo di esistenza della funzione f(x) devono essere verificate le seguenti 2 condizioni:
1) essendo f(x) una funzione razionale, bisogna imporre, per l'esistenza della stessa, che il denominatore sia diverso da zero:
⇓
x ≠ 2
2) bisogna, inoltre, imporre per l'esistenza del logaritmo, che il suo argomento sia maggiore di zero:
⇓
x > -1
Dalle 2 condizioni appena imposte, si deduce che il dominio della funzione è costituito da tutti i numeri reali maggiori di -1 ad esclusione del numero 2:
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 5
Traccia:
4 topi mangiano una forma di formaggio in 24 giorni. Se i topi fossero 6, quanti giorni durerebbe la stessa forma di formaggio?
a) 24
b) 12
c) 18
d) 16
Risoluzione:
Le due grandezze "coinvolte" nell'esercizio (numero di topi e numero di giorni) sono inversamente proporzionali perchè quando una grandezza cresce, l'altra diminuisce e viceversa.
Se due grandezze sono inversamente proporzionali, il loro prodotto è costante.
Quindi, indicando con "x" il numero di giorni incognito, si ha:
⇓
x = (4•24) / 6
⇓
x = 16
La risposta corretta è, quindi, la d).
TRIGONOMETRIA
Quiz n. 6
Traccia:
Usando le approssimazioni √2~1,4 e √3~1,7, l’altezza di un albero, che forma un’ombra di 21 metri quando il Sole è alto sull’orizzonte di un angolo di 30°, è uguale a:
a) 17,85 m
b) 11,9 m
c) 21 m
d) 35,7 m
Risoluzione:
L'altezza dell'albero e la sua ombra costituiscono i due cateti di un triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il raggio solare; tale raggio, inclinato di 30° rispetto all'orizzontale, proietta l'ombra sul terreno.
Si deduce che 30° è l'angolo opposto all'altezza h dell'albero; è possibile quindi utilizzare il II teorema sui triangoli rettangoli, secondo il quale "ogni cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto".
Nel caso in esame si ha:
= 21 • (√3/3) =
= 7 • 1,7 =
= 11,9 m
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 7
Traccia:
Calcolare il valore dell'espressione (1/2)•tan(180°) + (1/5)•sen(60°) – (1/10)•cos(45°).
a) [12- √(2)] / 20
b) [10 + 2√(3) - √(2)] / 20
c) [2 - √(2)] / 20
d) [2√(3) - √(2)] / 20
Risoluzione:
Si risolve l'espressione data:
= (1/2)•0 + (1/5)•[√(3)/2] - (1/10)•[√(2)/2] =
= √(3)/10 - √(2)/20 =
= [2√(3) - √(2)] / 20
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 8
Traccia:
Sottraendo 270° a 5π/3 si ottiene:
a) 5π/6
b) 5π/3
c) π/4
d) π/6
Risoluzione:
Per trasformare la misura di un angolo da gradi in radianti basta moltiplicare l'angolo per la frazione (π/180).
Si ha quindi:
= 270 • (π/180) =
= 3π/2
Eseguendo la sottrazione richiesta dal quesito si ottiene:
= (10π - 9π)/6 =
= π/6
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 9
Traccia:
Per quali angoli il coseno assume valore -1/2?
a) 120°; 240°
b) 30°; 210°
c) 90°; 270°
d) 30°; 150°
Risoluzione:
Il coseno vale 1/2 a 60° (nel I quadrante) e a 300° (nel IV quadrante).
Il coseno vale invece -1/2 nel II e III quadrante, rispettivamente in corrispondenza degli angoli: (180° - 60°) = 120° e (180° + 60°) = 240°.
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 10
Traccia:
Se sen(x) = 2/3 e 0° < x < 90°, allora sen(2x) vale:
a) 3/4
b) 4√(5)/9
c) 2√(5)/9
d) √(5)/3
Risoluzione:
La formula di duplicazione del seno è la seguente: sen(2x) = 2sen(x)cos(x).
Il coseno dell'angolo x si ottiene dalla I relazione fondamentale della goniometria (sen2(x) + cos2(x) = 1):
= √[1-(2/3)2] =
= √[1-(4/9)] =
√(5/9) =
= √(5)/3
Si può quindi ricavare sen(2x):
= 2•(2/3)•(√(5)/3) =
= 4√(5)/9
La risposta corretta è, quindi, la b).
GEOMETRIA
Quiz n. 11
Traccia:
In un triangolo due lati misurano rispettivamente 12 cm e 23 cm. Quali possono essere i limiti in centimetri della misura x del terzo lato?
a) 10 < x < 30
b) 12 < x < 23
c) 11 < x < 35
d) 11 < x < 40
Risoluzione:
In qualsiasi poligono, ogni lato deve essere minore della somma dei lati rimanenti e maggiore della loro differenza.
Si ha pertanto:
e
x > (23-12) ⇒ x > 11
Unendo le due disuguaglianze si ottiene l'intervallo:
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 12
Traccia:
Nel piano cartesiano, un rettangolo ha i lati paralleli agli assi cartesiani e una sua diagonale ha estremi nei punti di coordinate (1,2) e (6,5). Qual è il perimetro del rettangolo?
a) 16 unità
b) 8 unità
c) 14 unità
d) 12 unità
Risoluzione:
I punti (1,2) e (6,5) sono i vertici opposti del rettangolo.
La differenza, in valore assoluto, delle loro ascisse fornisce la misura della base del rettangolo, mentre la differenza, in valore assoluto, delle ordinate quella dell'altezza.
Ne consegue che: b = 6-1 = 5 unità e h = 5-2 = 3 unità.
Il perimetro del rettangolo è:
= 2•5 + 2•3 =
= 10 + 6 =
= 16 unità
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 13
Traccia:
Sia dato un triangolo ABC i cui lati abbiano le seguenti lunghezze:
AB = 5 dm
BC = 4 dm
CA = 3 dm
Quanti decimetri misura l’altezza CH?
a) 12/5
b) 2
c) 3
d) 4/5
Risoluzione:
Il triangolo ABC è rettangolo, infatti per i suoi lati vale il Teorema di Pitagora; la somma dei quadrati dei cateti (CA e BC) è uguale al quadrato dell'ipotenusa (AB): 32 + 42 = 52.
In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa (CH) si ottiene dividendo il prodotto dei due cateti per l'ipotenusa:
= (3 • 4) / 5 =
= 12/5
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 14
Traccia:
Il volume della figura solida, ottenuta ruotando un triangolo rettangolo di ipotenusa 10 cm e di cateto 6 cm attorno al suo cateto maggiore, è uguale a:
a) 128π centimetri cubi
b) 384π centimetri cubi
c) 96π centimetri cubi
d) 288π centimetri cubi
Risoluzione:
Il teorema di Pitagora permette di calcolare il cateto maggiore incognito:
= √(100-36) =
= √64 =
= 8 cm
Il triangolo rettangolo, ruotando attorno al suo cateto maggiore, dà origine ad un cono che ha come raggio di base il cateto minore (r = 6 cm) e come altezza il cateto maggiore (h = 8 cm).
Si può, quindi, calcolare il volume del cono:
= (π • r2 • h) / 3 =
= (π • 36 • 8) / 3 =
= 96π centimetri cubi
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 15
Traccia:
La somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di 7 lati è:
a) 1260°
b) 360°
c) 1980°
d) 900°
Risoluzione:
La formula per determinare la somma degli angoli interni di un qualsiasi poligono di "n" lati (o angoli o vertici) è la seguente:
Applicando al caso in esame tale formula si ha:
La somma degli angoli esterni di un qualsiasi poligono è, invece, sempre 360°.
Si deduce, quindi, che la somma degli angoli interni ed esterni vale:
La risposta corretta è, quindi, la a).
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