In questa pagina si riportano 16 quiz svolti di Matematica (risolti quando possibile con metodi veloci) presenti, negli ultimi anni, nei test di ammissione ufficiali alla Facoltà di Medicina e Chirurgia.

 

 

Quiz n. 1 (test Medicina 2021)

Traccia:

Per quali valori del parametro reale k, l'equazione x² + y² - 4x + 2y + k = 0 rappresenta l'equazione di una circonferenza reale non degenere?

 

a) k<20

b) k≤ 5

c) k<5

d) k≤20

e) per ogni valore reale di k

 

 

 

Risoluzione:

La circonferenza degenera in un punto (coincidente con il suo centro) se il suo raggio si annulla.

Pertanto, affinchè l'equazione della circonferenza proposta non sia degenere, bisogna imporre la condizione che il raggio "r" sia maggiore di zero:

Data l'equazione canonica di una circonferenza x² + y² + ax + by + c = 0, la formula per ricavare il raggio è la seguente:

 

La risposta corretta è, quindi, la c).

 

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Quiz n. 2 (test Medicina 2021)

Traccia:

Qual è l'insieme delle soluzioni della disequazione 3e^x - 5e^-x - 2 > 0 ?

 

a) x∈R tale che x>ln(5/3)

b) x∈R tale che x<-1 e x>5/3

c) x∈R tale che -1<x≤ln(5/3)

d) ogni x reale

e) nessun valore di x reale

 

 

 

Risoluzione:

Si risolve la disequazione esponenziale proposta:

Per semplificare i calcoli, si effettua la sostituzione di e^x con un parametro generico "t":

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

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Quiz n. 3 (test Medicina 2020)

Traccia:

Per rappresentare il grafico di equazione 4x² - y² = 0, cosa si deve disegnare?

 

a) una parabola

b) una circonferenza

c) un'iperbole

d) una coppia di rette

e) un'ellisse

 

 

 

Risoluzione:

L'equazione proposta dalla traccia del quiz non si può ricondurre all'equazione canonica di un'iperbole perchè al secondo membro è presente "0" e non "1".

Invece, si può scomporre il binomio 4x² - y² utilizzando la formula del calcolo letterale relativa alla differenza di quadrati:

Applicando poi la legge di annullamento del prodotto, si ottengo le equazioni di due rette in forma implicita:

La risposta corretta è, quindi, la d).

 

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Quiz n. 4 (test Medicina 2020)

Traccia:

Quali sono le soluzioni reali della disequazione Ιx-1Ι < ΙxΙ ?

 

a) x<0 o x>1/2

b) x>0

c) x>1/2

d) x≠0

e) x<1/2

 

 

 

Risoluzione:

Si studiano inizialmente i segni degli argomenti dei due valori assoluti:

x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

x ≥ 0

Si disegna la tabella dei segni:

 

Nell'intervallo x≤0 entrambi gli argomenti dei valori assoluti sono negativi; si può risolvere, quindi, il seguente sistema:

 

 

Nell'intervallo 0<x<1 l'argomento del primo valore assoluto è negativo, mentre quello del secondo valore assoluto è positivo; pertanto, si può risolvere il seguente sistema:

Nell'intervallo x≥1 entrambi gli argomenti dei valori assoluti sono positivi; si può risolvere, quindi, il seguente sistema:

 

Infine, dall'unione delle soluzioni del secondo e del terzo sistema, si ricava:

 

Pertanto, la risposta corretta è la c).

 

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Quiz n. 5 (test Medicina 2019)

Traccia:

Quale tra le seguenti espressioni di K rende vera l'identità sin⁴α - cos⁴α = K? 

 

a) K = cos4α

b) K = -cos2α

c) K = cos2α

d) K = sin4α

e) K = -cos4α

 

 

 

Risoluzione:

Si procede al calcolo di K dapprima scomponendo il binomio sin⁴α - cos⁴α tramite la formula del calcolo letterale relativa alla differenza di quadrati:

Poichè sin²α + cos²α = 1 (identità fondamentale della goniometria), si ottiene:

 

Infine, dato che cos2α = cos²α - sin²α (formula di duplicazione del coseno), si ricava:

K = -cos2α

La risposta corretta è, quindi, la b).

 

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Quiz n. 6 (test Medicina 2019)

Traccia:

Michele ha nel suo cassetto complessivamente 10 paia di calze, alcune a righe, altre a pois o a scacchi. Scegliendo a caso un paio di calze dal cassetto, la probabilità che trovi un paio di calze a righe è 0.4 e la probabilità che trovi un paio di calze a pois è doppia di quella che trovi un paio di calze a scacchi. Qual è la probabilità che estraendo un paio di calze dal cassetto Michele trovi quelle a scacchi? 

 

a) 1/5

b) 2/5

c) 3/5

d) 4/5

e) 0

 

 

 

Risoluzione:

Indicando con P(E) la probabilità che accada l'evento E, la probabilità che si verifichi l'evento contrario P(Ē) si calcola come segue:

E' nota la probabilità che Michele estragga dal suo cassetto un paio di calze a righe: P(righe) = 0.4. Di conseguenza, tramite la formula precedente, si può calcolare la probabilità dell'evento contrario ossia che Michele estragga un paio di calze a pois o un paio di calze a scacchi:

 

Inoltre, poichè la probabilità che Michele trovi un paio di calze a pois è doppia rispetto a quella che trovi un paio di calze a scacchi, si può risolvere il seguente sistema:

Sostituendo il valore di P(pois), ricavato dalla relazione [1], nella relazione [2], si ricava la probabilità incognita:

 

Traccia:

Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 10 m e 24 m. Qual è la misura della mediana relativa all’ipotenusa? 

 

a) 12 m

b) 15 m

c) 16 m

d) 13 m

e) 26 m

 

 

 

Risoluzione:

In un triangolo rettangolo la mediana (segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto) relativa all'ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.

Utilizzando il teorema di Pitagora, si calcola l'ipotenusa del triangolo rettangolo:

 

 

Si ricava quindi il valore della mediana relativa all'ipotenusa:

La risposta corretta è, quindi, la d).

 

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Quiz n. 8 (test Medicina 2018)

Traccia:

Se a = ln(4), b = ln(1/16), c = ln(8), qual è il valore dell'espressione (a-c)/b? 

 

a) 1/4

b) -1/2

c) 1

d) -1/4

e) 1/2

 

 

 

Risoluzione:

Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo della base della potenza; si ha infatti:

Applicando tale formula ai dati forniti dalla traccia del quiz, si ottiene:

Infine, si calcola l'espressione (a-c)/b:

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

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Quiz n. 9 (test Medicina 2017)

Traccia:

L'equazione esponenziale 5^{2x + 1} – 1/5 = 0 ammette come soluzione: 

 

a) x = -2

b) x = -1

c) x = 1/4

d) x = 0

e) x = -1/2

 

 

 

Risoluzione:

Si risolve l'equazione esponenziale proposta utilizzando opportunamente le proprietà delle potenze:

La risposta corretta è, quindi, la b).

 

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Quiz n. 10 (test Medicina 2017)

Traccia:

L'equazione di secondo grado kx² – 3kx + (k+1) = 0, con k diverso da 0, ha una soluzione uguale a –1 per: 

 

a) k = -1/5

b) k = -1

c) k = 1

d) k = 3

e) nessun valore di k

 

 

 

Risoluzione:

Si risolve l'equazione parametrica di II grado sostituendo nella traccia del quesito al posto della "x" la soluzione assegnata "-1"; tramite una semplice equazione di I grado si ricava, quindi, il valore incognito del parametro "k":

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

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Quiz n. 11 (test Medicina 2016)

Traccia:

Siano dati due triangoli rettangoli simili. Se il primo ha cateti di lunghezza 3 e 4 cm, e il secondo ha area pari al quadruplo dell'area del primo, qual è la lunghezza dell'ipotenusa del secondo triangolo? 

 

a) 10 cm

b) 5 cm

c) 20 cm

d) 16 cm

e) 12 cm

 

 

 

Risoluzione:

Le aree di due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi. Indicando con "A1" ed "i1" l'area e l'ipotenusa del primo triangolo e con "A₂" ed "i₂" l'area e l'ipotenusa del secondo triangolo, si può quindi scrivere la seguente relazione:

Poichè l'area del secondo triangolo è il quadruplo dell'area del primo, si ha:

Si può inoltre ricavare il valore dell'ipotenusa del primo triangolo tramite il teorema di Pitagora:

Sostituendo i valori ottenuti di "A₂" e "i₁" nella prima relazione, si ottiene il valore dell'ipotenusa del secondo triangolo:

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

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Quiz n. 12 (test Medicina 2016)

Traccia:

La retta passante per il punto (1, –1) e ortogonale alla retta di equazione 2x + y + 6 = 0 ha equazione:

 

a) y + 2x - 1 = 0

b) 2y - x - 3 = 0

c) 2y - x + 3 = 0

d) y - 2x + 1 = 0

e) x + y - 3 = 0

 

 

 

Risoluzione:

Si scrive dapprima il fascio di rette proprio di centro (1; -1):

Il coefficiente angolare incognito "m" deve essere l'antireciproco del coefficiente angolare della retta di equazione 2x + y + 6 = 0; infatti per due rette perpendicolari, di coefficienti angolari rispettivamente m ed m', vale la seguente relazione:

Il coefficiente angolare della retta 2x + y + 6 = 0 vale:

Si può quindi calcolare il coefficiente angolare "m":

 

 

 

Sostituendo il valore di "m" ottenuto nel fascio proprio si ottiene l'equazione della retta incognita:

La risposta corretta è, quindi, la c).

 

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Quiz n. 13 (test Medicina 2015)

Traccia:

Un gruppo di 10 ciclisti è composto da 6 uomini e 4 donne. I 10 ciclisti pesano in media 74 kg. Il peso medio dei 6 uomini è 82 kg. Quanto pesano in media le 4 donne?

 

a) 63 kg

b) 64,5 kg

c) 62 kg

d) 66 kg

e) 72 kg

 

 

 

Risoluzione:

Per risolvere il quesito si può applicare la formula della media aritmetica ponderata.

Si indica con "P_m" il peso medio dei 10 ciclisti, con "P_u" il peso medio dei soli uomini e con "P_d" il peso medio incognito delle sole donne.

Quindi, indicando con "u" il numero degli uomini e con "d" il numero delle donne, si ha:

Sostituendo i dati forniti dalla traccia si ottiene:

La risposta corretta è, quindi, la c).

 

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Quiz n. 14 (test Medicina 2015)

Traccia:

La probabilità con cui un paziente deve attendere meno di dieci minuti il proprio turno in un ambulatorio medico è 0,8. Qual è la probabilità che una paziente che si reca due volte presso l’ambulatorio medico attenda, almeno una delle due volte, meno di dieci minuti prima di essere ricevuta dal medico?

 

a) 0,96

b) 0,25

c) 0,64

d) 0,04

e) 0,8

 

 

 

Risoluzione:

Nel calcolo della probabilità richiesto si possono avere 4 possibili combinazioni di eventi.

Si indica con "a" l'evento "attendo meno di dieci minuti" e con "b" l'evento "attendo più di dieci minuti".

Recandosi 2 volte in laboratorio i casi possibili sono 4, schematizzabili con le lettere nel seguente modo: 1) a-a; 2) a-b; 3) b-a; 4) b-b.

Indicando la probabilità che si attenda meno di 10 minuti con P(a) = 0,8 e quella che si attenda più di 10 minuti con P(b) = 0,2, le probabilità correlate ai 4 casi sopra elencati sono le seguenti:

La probabilità che almeno una delle due volte l'attesa duri meno di 10 minuti è pari alla somma delle probabilità che avvengano i primi 3 casi possibili (in cui è presente almeno una volta l'evento "a"). Si ha quindi:

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

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Quiz n. 15 (test Medicina 2014)

Traccia:

Calcolare il valore della seguente frazione: (127² - 73²) / 2.

 

a) 1458

b) 10800

c) 20000

d) 5400

e) 10000

 

 

 

Risoluzione:

Il numeratore della frazione è una differenza di quadrati e, come tale, può trasformarsi nel prodotto somma per differenza:

Tale numeratore va ovviamente dimezzato:

 

La risposta corretta è, quindi, la d).

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Quiz n. 16 (test Medicina 2014)

Traccia:

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con l’ipotenusa di lunghezza h cm e area di S cm quadrati. Quale tra le seguenti esprime la corretta relazione tra h ed S?

 

a) h = (2√2)•S

b) h = 2√S

c) h = √S/2

d) h = √(2S)

e) h = √(S/2)

 

 

 

Risoluzione:

Un triangolo rettangolo isoscele ha i due cateti uguali e un angolo retto, quindi è equivalente alla metà di un quadrato, di cui l'ipotenusa ne costituisce la diagonale.

Indicando con "l" i cateti e con "i" l'ipotenusa del triangolo si hanno quindi le 2 relazioni:

 

Andando a sostituire il valore di "l" ottenuto dalla seconda relazione nella prima, si ha:

 

La risposta corretta è, quindi, la b).

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