In questa pagina si riportano 10 quiz svolti di Matematica presenti, negli scorsi anni, nei test di ammissione ufficiali alle Facoltà di Ingegneria in diversi atenei d'Italia.
Quiz n. 1
Traccia:
La retta passante per il punto (1; 2) e parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante ha equazione:
a) y = x - 1
b) 2y = x + 3
c) y = 3 - x
d) y = 1 + x
e) y = x - 2
Risoluzione:
La bisettrice del I e del III quadrante ha equazione:
La retta incognita, di equazione generale y = mx + q, è parallela alla bisettrice del I e del III quadrante e, quindi, ha coefficiente angolare:
⇓
y = x + q
Si può intanto escludere la risposta c) che presenta un coefficiente angolare negativo.
Infine, per determinare il parametro incognito q, è necessario imporre la condizione di appartenenza del punto (1;2) alla retta stessa; si sostituiscono, quindi, le sue coordinate nell'equazione della retta:
⇓
q = 1
La retta incognita è pertanto la seguente:
La risposta corretta è la d).
Quiz n. 2
Traccia:
Per quali valori di x è definita la funzione (il log x è in base e) f(x) = log (x2 + x + 1)?
a) per ogni x appartenente ai numeri reali
b) per x minore o uguale di 0
c) per nessun valore di x
d) per x maggiore di 0
e) per x compreso tra -1 e 1
Risoluzione:
La funzione logaritmo è definita per tutti i valori di x per i quali il suo argomento è positivo; bisogna quindi porre la seguente condizione di esistenza del logaritmo:
Si risolve, pertanto, l'equazione di II grado associata:
⇓
Δ = b2 - 4ac = 1 - 4 = -3
L'equazione, avendo delta negativo, non ammette soluzioni reali.
La disequazione è invece verificata per tutti i valori di x appartenenti ai numeri reali.
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 3
Traccia:
Tra 100 studenti, 70 seguono un corso di fisica e 50 di matematica. Sapendo che tutti gli studenti seguono almeno uno dei due corsi, quanti li seguono entrambi?
a) più di 50
b) esattamente 50
c) non più di 20
d) da 20 a 50
e) esattamente 20
Risoluzione:
Poichè ogni studente segue almeno 1 corso, si può dedurre che:
⇓
30 non seguono fisica e quindi frequentano solo il corso di matematica
Inoltre:
⇓
50 non seguono matematica e quindi frequentano solo il corso di fisica
Se ne deduce quindi che:
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 4
Traccia:
Sia k un parametro reale. L'equazione x2 + (k +2)x + k2 = 0, nell'incognita x, non ammette soluzioni
a) per due valori di k
b) per un solo valore di k
c) per infiniti valori di k
d) per ogni valori positivo di k
e) per nessun valore di k
Risoluzione:
Un'equazione non ammmette soluzioni quando il delta è negativo:
⇓
b2 - 4ac < 0
⇓
(k+2)2 - 4•k2•1 < 0
⇓
k2 + 4k + 4 - 4k2 < 0
⇓
-3k2 + 4k + 4 < 0
Si risolve quindi l'equazione di II grado associata:
⇓
3k2 - 4k - 4 = 0
⇓
Δ = b2 - 4ac = 16 + 48 = 64
⇓
x1/2 = (-b ± √Δ) / 2a = (4 ± 8) / 6
⇓
x1 = -2/3 e x2 = 2
La disequazione di partenza sarà verificata per valori interni ovvero:
Tra -2/3 e 2 sono compresi infiniti valori reali di k, quindi la risposta corretta è la c).
Quiz n. 5
Traccia:
Quanto vale la somma dei primi cinque termini della progressione geometrica di ragione 4 e il cui primo termine vale 2?
a) 400
b) 1364
c) 124
d) 312
e) 682
Risoluzione:
La somma dei primi "n" numeri in una progressione geometrica, di ragione q e con primo elemento a1, è data dalla seguente formula:
Sn = a1 • (1-qn)/(1-q)
⇓
Sn = 2 • 341
⇓
Sn = 682
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 6
Traccia:
L'equazione x2 - 6x + 10 = lx2 - 2l ammette:
a) nessuna soluzione
b) la sola soluzione x = 2
c) infinite soluzioni
d) le sole due soluzioni x = -√2 e x = √2
e) la sola soluzione x = 16/13
Risoluzione:
L'equazione, contenente a secondo membro il valore assoluto, ammette come soluzioni tutte le soluzioni delle due equazioni che si ottengono lasciando inalterati i segni dei termini nel valore assoluto nel primo caso e cambiandoli nel secondo caso.
Prima equazione:
⇓
-6x = -12
⇓
x = 2
Seconda equazione:
⇓
x2 - 3x + 4 = 0
⇓
Δ < 0
⇓
non ammette soluzioni
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 7
Traccia:
L'espressione [sen(π/12) - cos(π/12)]2 è anche uguale a:
a) 1-(√3/2)
b) 3/2
c) 1-(√2/2)
d) 1/2
e) 1
Risoluzione:
Si calcola dapprima il termine sen(π/12):
= sen(π/4)•cos(π/6) - cos(π/4)•sen(π/6) =
= (√2/2)•(√3/2) - (√2/2)•(1/2) =
= (√6/4) - (√2/4)
Successivamente si ricava il termine cos(π/12):
= cos(π/4)•cos(π/6) + sen(π/4)•sen(π/6) =
= (√2/2)•(√3/2) + (√2/2)•(1/2) =
= (√6/4) + (√2/4)
Sostituendo i valori appena calcolati di sen(π/12) e cos(π/12) nell'espressione fornita dalla traccia del quesito, si ha:
= [(√6/4) - (√2/4) - (√6/4) - (√2/4)]^2 =
= (√2/2)^2 =
= 1/2
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 8
Traccia:
Una sfera è inscritta in un cubo; il rapporto fra il volume della sfera e quello del cubo è:
a) π/4
b) π/6
c) 2π/3
d) 4π/3
e) π/2
Risoluzione:
Il volume di un cubo vale:
(dove l è il lato o spigolo del cubo)
Se la sfera è inscritta nel cubo, il suo diametro è pari al lato del cubo.
Il volume della sfera è dato dalla seguente formula:
⇓
Vsfera = (4/3) • π • (l/2)3
⇓
Vsfera = (4/3) • π • (l3/8)
Vsfera = (1/6) • π • l3
Il rapporto tra volume della sfera e volume del cubo vale quindi:
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 9
Traccia:
La metà di (1/2)50 è uguale a:
a) (1/4)25
b) (1/2)51
c) (1/4)50
d) (1/2)25
e) (1/2)49
Risoluzione:
Eseguire la metà di (1/2)50 vuol dire effettuare la seguente operazione:
= (1/2)50 • (1/2) =
= (1/2)51
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 10
Traccia:
Fra tre anni Matteo avrà il doppio dell'età che Sara aveva tre anni fa, mentre ora il quadruplo degli anni di lui è pari al quintuplo degli anni di lei. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) per conoscere le età di Sara e di Matteo ci vuole un ulteriore dato
b) si può dedurre che Sara è più vecchia di Matteo
c) fra un anno Sara avrà tanti anni quanti ne aveva Matteo un anno fa
d) si possono dedurre le età di Sara e di Matteo
e) i due hanno la stessa età
Risoluzione:
Si "traducono matematicamente" gli enunciati forniti dalla traccia del quesito (indicando con "M" ed "S" le età attuali rispettivamente di Matteo e Sara):
Fra tre anni Matteo (M + 3) avrà (=) il doppio dell'età che Sara aveva tre anni fa [2•(S - 3)].
La prima relazione ricavata è quindi la seguente:
M + 3 = 2 • (S - 3)
Ora il quadruplo degli anni di lui (4M) è pari (=) al quintuplo degli anni di lei (5S).
La seconda relazione vale:
Mettendo a sistema le due relazioni, dalla prima equazione si ricava il valore di "M":
Il valore appena calcolato di "M", sostituito nella seconda equazione, permette di ricavare il valore di "S":
⇓
3S = 36
⇓
S = 12
Sostituendo il valore di "S" nella relazione "M = 2S - 9", si ottiene:
La risposta corretta è, quindi, la d).
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