Scuole Militari - Algebra (Liceo Scientifico)

Quiz svolti Algebra (Liceo Scientifico)

In questa pagina, si riportano 15 esercizi svolti relativi ad alcuni tra i quesiti più complessi presenti, negli ultimi anni, nelle banche dati di Algebra (Liceo Scientifico) - Prova Cultura Generale - concorsi Scuole Militari di Esercito, Marina ed Aeronautica; laddove possibile, vengono illustrati metodi veloci per giungere più rapidamente alla risposta corretta.

 

Quiz n. 1

Traccia: Risolvere la seguente disequazione irrazionale: √(2x + 20) < 4 [risposte: a) x ≤ -10; b) -10 ≤ x < -2; c) x < -2; d) -10 < x < 2]

Risoluzione: dato che il secondo membro della disequazione è sempre positivo, si può risolvere il seguente sistema di disequazioni lineari:

1) 2x + 20 ≥ 0

2) 2x + 20 < 16

⇓

1) x ≥ -10

2) x < -2

⇓

-10 ≤ x < -2

Traccia: Risolvere la seguente disequazione: |3x - 9| > 4x - 5 [risposte: a) x > 5; b) x > -2; c) x < 2; d) x < - 1 oppure x > 3]

Risoluzione: la soluzione della disequazione deriva dall'unione dei due seguenti sistemi:

I sistema

1) 3x - 9 ≥ 0

2) 3x - 9 > 4x - 5

∪

II sistema

1) 3x - 9 < 0

2) 9 - 3x > 4x - 5

Si risolve, dapprima, il I sistema:

1) 3x - 9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

2) 3x - 9 > 4x - 5 ⇒ x < -4

⇓

sistema impossibile

Successivamente, si risolve il II sistema:

⇓

x < 2

 

Dall'unione dei 2 sistemi, si ottiene il risultato della disequazione:

Traccia: Risolvere il seguente sistema di equazioni fratte: 4/x + 5/y = 2 e 10/y - 4/x = 1 [risposte: a) x = -2 e y = 3; b) x = 4 e y = 2; c) x = 4 e y = 6; d) x = 4 e y = 5]

Risoluzione: si deve risolvere il sistema delle due seguenti equazioni fratte:

1) 4/x + 5/y = 2

2) 10/y - 4/x = 1

L'insieme di esistenza delle soluzioni richiede che i denominatori contenenti le incognite siano diversi da zero:

x ≠ 0

y ≠ 0

Dalla relazione 1) si ricava "4/x" in funzione di "y":

4/x = 2 - 5/y

Si sostituisce tale valore nella relazione 2) e si ottiene il valore di "y":

 

Infine, si sostituisce il valore di "y" appena calcolato nella relazione 1) per ricavare "x":

x = 4

Traccia: Risolvere la seguente equazione: (x² + 8x + 5) / (x² + 8x + 15) - (x-2) / (x+3) + (x-1) / (x+5) = 0 [risposte: a) x = 2; b) x = -4; c) x = 3/4; d) x = 0]

Risoluzione: innanzitutto, si scompone il trinomio di secondo grado presente al denominatore della prima frazione. Si nota, infatti, che esistono due numeri che per somma danno "+8" e per prodotto "+15"; tali numeri sono "+3" e "+5". Vale, pertanto, la seguente relazione:

x² + 8x + 15 = (x+3)(x+5)

In base a tale relazione, si riscrive l'equazione proposta dalla traccia del quesito:

(x² + 8x + 5) / (x+3)(x+5) - (x-2) / (x+3) + (x-1) / (x+5) = 0

L'insieme di esistenza delle soluzioni richiede che i denominatori contenenti le incognite siano diversi da zero:

x+3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3

x+5 ≠ 0 ⇒ x ≠ -5

Si possono moltiplicare, infine, tutti i termini dell'equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni, ossia (x+3)(x+5):

Traccia: Sia f: R → R definita da f(x) = x² e g: R → R definita da g(x) = x + 15. Determinare f°g. [risposte: a) (f°g)(x) = x² + 30x + 225; b) (f°g)(x) = x² + 15; c) (f°g)(x) = x² + 225; d) le due funzioni non sono componibili]

Risoluzione: si tenga presente che:

(f°g)(x) = f(g(x))

Ciò significa che, per ottenere "f composto g", bisogna sostituire l'espressione di g(x) al posto di "x" nell'espressione di f(x): 

(f°g)(x) = (x + 15)²
⇓

Traccia: Quanto valgono lo scarto semplice medio S e lo scarto quadratico medio σ nella seguente serie di numeri? 4, 5, 6, 9, 11  [risposte: a) S = 7; σ ≈ 2,6; b) S = 2,4; σ ≈ 2,6; c) S = 6; σ ≈ 5,8; d) S = 7; σ ≈ 5,8]

Risoluzione: si definisce scarto semplice medio S da una media M, la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti da M:

Si calcola dapprima la media aritmetica M dei 5 numeri:

Applicando la formula dello scarto semplice medio S, si ottiene quindi:

Si definisce scarto quadratico medio σ da una media M, la media quadratica degli scarti da M:

Applicando tale formula al caso in esame, si ha:

La risposta corretta è, quindi, la b).

 

Quiz n. 7

Traccia: Il numero (1101)₂ , scritto in base 2, nel sistema decimale equivale a: [risposte: a) 3; b) 14; c) 13; d) 7]

Risoluzione: nella scrittura polinomiale, ogni numero intero si esprime come somma di potenze che hanno per base, la base del sistema di numerazione (2 per il sistema binario) e per esponente, la posizione occupata dalla cifra, contando da destra verso sinistra:

La risposta corretta è, quindi, la c).

 

Quiz n. 8

Traccia: Per quale valore di n il numero (14ⁿ - 11ⁿ) risulta divisibile per 3 e per 25?  [risposte: a) n = 0; b) n = 1; c) n = 3; d) n = 2]

Risoluzione: nel calcolo letterale la differenza di due potenze di uguale esponente (aⁿ - bⁿ) rispetta le seguenti regole (supponendo n ≠ 0):
- se n è pari, (aⁿ - bⁿ) risulta divisibile sia per (a - b) che per (a + b);
- se n è dispari, (aⁿ - bⁿ) risulta divisibile solo per (a - b).

Applicando tali regole al caso in esame si ha:
- se n è pari, (14ⁿ - 11ⁿ) risulta divisibile sia per (14 - 11) che per (14 + 11), quindi sia per 3 che per 25;
- se n è dispari, (14ⁿ - 11ⁿ) risulta divisibile solo per (14 - 11), quindi solo per 3.

La risposta corretta è, quindi, la d).

 

Quiz n. 9

Traccia: Per pavimentare una strada occorrono 40 operai per 50 giorni lavorando 8 ore al giorno. Volendo compiere, invece, tale lavoro in 10 giorni lavorando 4 ore al giorno, quanti altri operai si devono aggiungere?  [risposte: a) 400; b) 360; c) 450; d) 500]

Risoluzione: le grandezze numero di operai "O" e numero di ore di lavoro "L" sono inversamente proporzionali, infatti al diminuire del numero di ore giornaliere a disposizione per compiere il lavoro, si ha necessità di un numero maggiore di operai per completare la pavimentazione della strada (e viceversa).
Quando due grandezze sono inversamente proporzionali, il loro prodotto è costante; pertanto, indicando con "x" gli operai da aggiungere, vale la seguente relazione:

O₁ • L₁ = O₂ • L₂
⇓

La risposta corretta è, quindi, la b).

 

Quiz n. 10

Traccia: Nella mia classe i test sono composti da cinque quesiti. Nel primo test che ho affrontato ho risposto correttamente solo ad uno dei cinque quesiti. Se da ora in poi mi preparo molto bene, in modo da essere in grado di rispondere correttamente ad ogni quesito, quanti test devo affrontare ancora per avere una media di quattro risposte corrette su cinque? [risposte: a) 4; b) 2; c) 5; d) 3]

Risoluzione: si indica con "x" il numero incognito di test che bisogna ancora affrontare per avere una media di 4 quesiti corretti su 5.
In tali test, si suppone che le risposte corrette siano sempre 5; il numero totale di risposte corrette può essere quindi espresso dalla quantità "5•x"
Applicando la definizione di media aritmetica semplice, si ha che il rapporto tra il numero totale di risposte corrette fornite durante tutti i test (1 + 5•x) e il numero totale di test effettuati (1 + x) deve essere pari a 4 (media aritmetica richiesta dalla traccia del quesito); si ottiene quindi la seguente equazione di I grado frazionaria:

La risposta corretta è, quindi, la d).

 

Quiz n. 11

Traccia: Dieci squadre partecipano ad un torneo di calcio (ogni squadra gioca contro tutte le altre una ed una sola volta). Al termine di ogni partita alla squadra vincente vanno 3 punti e alla perdente 0, in caso di pareggio si assegna 1 punto ad entrambe le squadre. Sommando i punti totalizzati dalle dieci squadre si ottiene 130. Quanti incontri sono terminati in pareggio?  [risposte: a) 2; b) 4; c) 5; d) 3]

Risoluzione: in ogni giornata del torneo di calcio vengono disputate 5 partite in cui si affrontano le 10 squadre partecipanti.
Inoltre, ogni squadra, incontrando le sue avversarie una sola volta, disputa in totale 9 partite; si deduce che il torneo è costituito da un numero totale di 9 giornate.
Il numero complessivo di partite giocate nel torneo è dato quindi dal seguente prodotto:

Se nell'intero torneo non vi fossero pareggi, in ogni partita si assegnerebbero 3 punti (una squadra vince e l'altra perde), per un totale di:

Poichè, in realtà, nel torneo sono stati assegnati 130 punti, il numero di pareggi è dato dalla seguente differenza:

La risposta corretta è, quindi, la c).

 

Quiz n. 12

Traccia: Ogni volta che un cammello ha sete, l'84% del suo corpo è costituito da acqua. Dopo aver bevuto, il suo peso raggiunge gli 800 kg e l'acqua costituisce l'85% del suo peso. Qual è il peso del cammello quando ha sete? [risposte: a) 672 kg; b) 715 kg; c) 680 kg; d) 750 kg]

Risoluzione: si indica con:
- "p" il peso del cammello quando ha sete;
- "a" il peso dell'acqua che beve;
- "p+a" il peso totale del cammello dopo aver bevuto.

In base ai dati forniti dal quesito, si possono impostare le seguenti relazioni:

Dalla relazione 2) si ottiene il valore di "p" in funzione di "a":

Andando a sostituire tale valore nella relazione 1), si ricava il valore di "a":

Infine, si può calcolare il peso del cammello quando ha sete:

La risposta corretta è, quindi, la d).

 

Quiz n. 13

Traccia: Di quanti giorni è stato anticipato il pagamento di un debito di € 80.000, avendo ottenuto lo sconto di € 300, se il tasso applicato è stato del 6%?  [risposte: a) 22,5; b) 36,3; c) 18; d) 152]

Risoluzione: quando non esplicitamente indicato, il tasso di interesse va considerato annuale (riferito cioè all'anno cosiddetto "commerciale" di 360 giorni).
Supponendo di voler pagare l'intero debito di € 80.000 in 1 anno, tale importo deve essere incrementato dell'interesse maturato nello stesso arco temporale.
Indicando con I l'interesse, con C il capitale (€ 80.000), con i il tasso di interesse annuale (6/100) e con t il tempo (1 anno), si può procedere con il calcolo dell'interesse maturato tramite la seguente formula:

Poichè si riesce ad estinguere interamente il debito di  € 80.000 in un periodo di tempo inferiore all'anno, si paga effettivamente un interesse di soli € 4.500 (= € 4.800 - € 300).
Per calcolare il numero di giorni corrispondenti allo sconto di € 300, si imposta la seguente proporzione:

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

Quiz n. 14

Traccia: Data l'equazione parametrica 3x² + (2k - 1)x + k - 2 = 0 determinare per quali valori del parametro k sussistono fra le sue radici le seguenti relazioni: a) x₁ = - x₂; b) x₁ = -1/x₂   [risposte: a) 5; -1; b) 1/2; -1; c) 1/2; 2; d) 2; 5]

Risoluzione: la relazione a) può essere riscritta nel seguente modo:

La relazione appena ricavata indica che la somma delle radici dell'equazione parametrica deve essere uguale a zero.
In un'equazione di II grado scritta nella forma normale (ax² + bx + c = 0), la somma delle radici è data dal rapporto: -b/a.
Nel caso in esame i coefficienti "a", "b" e "c" dell'equazione di II grado parametrica sono i seguenti: a = 3; b = 2k-1; c = k-2.
Imponendo, quindi, che la somma delle radici sia nulla, si ha:

Effettuando il minimo comune multiplo, la relazione b) può essere, invece, riscritta nel seguente modo:

La relazione appena ricavata indica che il prodotto delle radici dell'equazione parametrica deve essere uguale a -1.
In un'equazione di II grado scritta nella forma normale (ax² + bx + c = 0), il prodotto delle radici è data dal rapporto: c/a.
Pertanto, imponendo che il prodotto delle radici sia uguale a -1, si ha:

La risposta corretta è, quindi, la b).

 

Quiz n. 15

Traccia: Per quali valori di x e di y i quattro numeri: x,  2,  y,  x-3 sono in progressione aritmetica?  [risposte: a) 3; 1; b) 2; 3; c) 1; 2; d) 0; 4]

Risoluzione: una progressione aritmetica è una successione di numeri per i quali è costante la differenza tra ciascun termine della successione e il suo precedente; tale differenza costante viene detta ragione della progressione.
Applicando la definizione di progressione aritmetica, si possono scrivere le due relazioni che legano le variabili incognite "x" ed "y".
Infatti, la differenza tra il secondo e il primo numero della progressione (2 - x) è uguale alla differenza tra il terzo e il secondo numero (y - 2):

Inoltre, la differenza tra il terzo e il secondo numero della progressione (y - 2) è uguale alla differenza tra il quarto e il terzo numero (x - 3 - y):

Dalla relazione 1) si ricava "x" in funzione di "y":

Andando a sostituire tale valore nella relazione 2), si ottiene il valore di "y":

Infine, dalla relazione 1) si può calcolare il valore di "x":

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

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