Quiz svolti Geometria (Argomenti Comuni)

In questa pagina, si riportano 10 esercizi svolti relativi ad alcuni tra i quesiti più complessi presenti, negli ultimi anni, nelle banche dati di Geometria (Argomenti Comuni) - Prova Cultura Generale - concorsi Scuole Militari di Esercito, Marina ed Aeronautica; laddove possibile, vengono illustrati metodi veloci per giungere più rapidamente alla risposta corretta.

 

Quiz n. 1

Traccia: Si vuole costruire un rettangolo con degli stuzzicadenti, tutti della stessa lunghezza. Quanti stuzzicadenti sono necessari se il rettangolo ha le dimensioni una il triplo dell'altra? [risposte: a) 6; b) 8; c) 10; d) 12]

Risoluzione: si indicano con "a" e "3·a" le dimensioni del rettangolo, dove "a" è la lunghezza incognita di uno stuzzicadente; pertanto, il numero di stuzzicadenti necessario per costruire il rettangolo corrisponde al suo perimetro:

2p = a + a + 3·a + 3·a

⇓

2p = 8·a

 

Il numero di stuzzicadenti è perciò sempre un multiplo di 8; infatti, ad esempio, si ha:

se a = 1 cm ⇒ 2p = 8·1 = 8 cm (8 stuzzicadenti)

se a = 2 cm ⇒ 2p = 8·2 = 16 cm (16 stuzzicadenti)

se a = 3 cm ⇒ 2p = 8·3 = 24 cm (24 stuzzicadenti)

ecc.

La risposta corretta è, quindi, la b).

 

Quiz n. 2

Traccia: L'area di un cerchio è 200π cm². L'ampiezza dell'angolo corrispondente a un suo settore circolare di 20π cm² corrisponde a: [risposte: a) 36°; b) 10°; c) 300°; d) 200°]

Risoluzione: per il cerchio intero di area 200π cm², l'angolo al centro "α" insiste su un arco pari all'intera circonferenza e vale:

α = 360°

 

Dato che il settore circolare ha area 20π cm², pari a 1/10 dell'area del cerchio intero, anche l'angolo al centro "β", che insiste sull'arco che delimita il settore circolare, è uguale alla decima parte di α:

β = 360°/10

⇓

β = 36°

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

Quiz n. 3

Traccia: Un triangolo rettangolo ABC ha gli angoli acuti di 30° e 60°. Sapendo che la lunghezza dell'ipotenusa BC è 10 cm, qual è la lunghezza del cateto maggiore AC e quella del cateto minore AB? [risposte: a) 10 cm; 6 cm; b) 8 cm; 6 cm; c) 8,66 cm; 5 cm; d) 10 cm; 8,66 cm]

Risoluzione: in un triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore e, di conseguenza, ad angolo minore è opposto lato minore. Ciò significa che il cateto maggiore AC è opposto all'angolo di 60°, mentre il cateto minore è opposto all'angolo di 30°.

Il primo teorema sui triangoli rettangoli afferma che "In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo (acuto) adiacente al cateto"; pertanto, si può calcolare la lunghezza del cateto maggiore:

AC = BC·sen(60°)

⇓

 AC = (10 cm)·(√3/2)

⇓

AC = 8,66 cm

 

In maniera analoga, si ricava la lunghezza del cateto minore:

AB = BC·sen(30°)

⇓

 AB = (10 cm)·(1/2)

⇓

AB = 5 cm

La risposta corretta è, quindi, la c).

 

Quiz n. 4

Traccia: Calcolare la lunghezza della base maggiore del trapezio, sapendo che la base minore misura 7 centimetri, l'altezza misura 11 centimetri e l'area misura 104,50 centimetri quadrati. [risposte: a) 12 cm; b) 21 cm; c) 24 cm; d) 48 cm]

Risoluzione: la formula per calcolare l'area del trapezio "A" è la seguente:

A = [(B+b)·h] / 2

 dove "B" è la base maggiore, "b" è la base minore e "h" è l'altezza.

Si ricava, quindi, la formula inversa per calcolare la base maggiore incognita "B":

A = [(B+b)·h] / 2

⇓

2·A = B·h + b·h

⇓

B = (2·A - b·h) / h

 

 Inserendo, nella formula appena ricavata, i dati forniti dalla traccia del quesito, si ottiene:

 B = [(2·104,5 cm²) - (7 cm)·(11 cm)] / (11 cm)

⇓

B = (132 cm²) / (11 cm)

⇓

B = 12 cm

 

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

Quiz n. 5

Traccia: Determinare l’equazione della retta passante per il punto (1/3 , 2) e (-2 , –4/5). [risposte: a) x + y - 2 = 0; b) 5x - 3y - 1 = 0; c) 2x - 5y + 1; d) 6x - 5y + 8 = 0]

Risoluzione: in geometria analitica, l'equazione della retta passante per due punti di coordinate (x₁, y₁) e (x₂, y₂)  si calcola mediante la seguente formula:

Applicando tale formula al caso in esame, ed indicando con x₁ = 1/3, y₁ = 2, x₂ = -2, y₂ = -4/5, si ha:

La risposta corretta è, quindi, la d).

 

Quiz n. 6

Traccia: La base di un rettangolo supera di 6 m l'altezza; se il perimetro è pari a 84 m, possiamo dedurre che l'area è: [risposte: a) 418 m²; b) 440 m²; c) 432 m²; d) 454 m²]

Risoluzione: si indicano con "b" ed "h" rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo.

In base alle informazioni fornite dalla traccia del quesito, si imposta il seguente sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite:

Sostituendo il valore di "b", ricavato dalla relazione 1), nella relazione 2), si ottiene il valore dell'altezza:

Tale valore, sostituito nella relazione 1), consente di ricavare il valore della base:

Infine, l'area del rettangolo vale:

 

La risposta corretta è, quindi, la c).

 

Quiz n. 7

Traccia: Il signor Rossi ha acquistato una casa con giardino: una parte di esso, destinata al box, ha una superficie di 15 m². Quanto misura la superficie di tutto il giardino sapendo che quella del box corrisponde ai 3/5 dell'intera area? [risposte: a) 25 m²; b) 9 m²; c) 30 m²; d) 5 m²]

Risoluzione: per risolvere il quesito, si può impostare una semplice proporzione che traduce matematicamente la seguente proposizione: "se la superficie destinata al box di 15 m² corrisponde ai 3/5 dell'area dell'intero giardino, quale superficie corrisponde all'area dell'ntero giardino?":

 

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

Quiz n. 8

Traccia: Di un rombo si sa che l'area è di 3630 centimetri quadrati e che la diagonale maggiore misura 132 centimetri. Determinare la lunghezza del lato di un secondo rombo, simile al primo, ma con la diagonale minore lunga 30 centimetri. [risposte: a) 65 cm; b) 39 cm; c) 32,5 cm; d) 143 cm]

Risoluzione: si indicano con "A₁" e "D₁" rispettivamente l'area e la diagonale maggiore del primo rombo.

Dalla formula inversa dell'area del rombo, si può ricavare la diagonale minore "d₁" del primo rombo:

 

Tramite il teorema di Pitagora, è poi possibile determinare il lato del primo rombo "l₁"; tale lato è, infatti, l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti le semilunghezze delle due diagonali:

 

Successivamente, si calcola il rapporto di similitudine "r" tra i due rombi come rapporto tra la diagonale minore del secondo rombo "d₂" e quella del primo rombo "d₁":

 

Infine, tale rapporto di similitudine deve coincidere anche con il rapporto tra i due lati del rombo; pertanto, si può ricavare il lato del secondo rombo "l₂":

La risposta corretta è, quindi, la b).

 

Quiz n. 9

Traccia: L'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele divide la base in due parti che sono ciascuna i 2/3 del lato obliquo. Sapendo che il perimetro del triangolo è 150 cm, i lati del triangolo misurano: [risposte: a) 6,25 cm; 56,25 cm; 75 cm; b) 18,75 cm; 37,50 cm; 75 cm; c) 49,5 cm; 49,5 cm; 100 cm; d) 60 cm; 45 cm; 45 cm]

Risoluzione: la risposta corretta è certamente la d), infatti, è l'unica alternativa per la quale, sommando le lunghezze dei tre lati del triangolo, si ottiene un risultato pari al perimetro richiesto di 150 cm:

 

 

Quiz n. 10

Traccia: Dire se è possibile costruire con riga e compasso un triangolo con i lati di: 5 centimetri, 4 centimetri e 17 centimetri. [risposte: a) no, mai; b) solo nella geometria dello spazio e non nella geometria del piano; c) sì, sempre; d) nessuna delle altre tre risposte è giusta]

Risoluzione: in un poligono ogni lato è minore della somma dei rimanenti lati.
Pertanto, per risolvere il quesito, basta considerare il lato più grande e confrontarlo con la somma dei rimanenti lati:

La risposta corretta è, quindi, la a).

 

 

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